——推理能力的培养

美国数学学会协会基金组织(the Amercian Macthematical Society Association Resource Groups，简称AMSARG)于1997年1月和6月，就美国数学教师全国委员会(the National Council of Teachers of Mathematics，简称NCTM)关于在2000年出版新“标 准”的问题，在研讨的基础上起草了两份报告。报告一中谈到了2l世纪美国数学教育亟需 解决的问题(参见《外国教育资料》1999年第2期“21世纪美国数学教育的课题”一文)。 报告二中强调了当今美国数学教育的两个不可忽视的重要问题，其中之一就是关于推理能力培养的问题。以Roger How教授为代表的美国数学教育的专家们，针对“应该强调培养学生怎样的数学推理能力”、“应该如何表述数学推理证明”、“如何表述数学结构”等问题进行了热烈地研讨。一致认为，应该强调数学推理能力的培养，它是数学教育的核心问题。
    一、数学推理能力的培养是一个渐进的过程
数学是逻辑性非常严密的学科，而正是数学推理才使得数学逻辑性如此严密。这并不需要花很多的力气来教学，事实上也不应该这样教学。数学只要教学事物怎样合乎逻辑，怎样理解它的本质就可以了。当然也有些很有意义的例外：比如永存的公理，象代数中的域公理。这些公理应作为对我们经验的概括或凭直觉就能接受的一般规则来教学，并且当我们处在不那么熟悉的领域时，能作为我们可依靠的不变的原理。并不是一切事物都得从头就弄得明明白白；有时候某个重要的特性或事实要学会先了解它，运用好它，以后再把它弄清楚。在这种情况下，应该指出，这种特性或事实要弄清楚，并最好是在以后再次碰上的时候弄清楚。如果在小学就能做到通过反复教学而弄懂大部分东西(靠老师或同学的帮助或通过课本)，那么初中就能教你如何运用象域公理的此类公理来扩大你的学习视野，譬如，从数字算术上升到多项式算术。因此数学推理能力的培养是一个渐进的过程。
    二、数学推理能力的培养要重视命题的推导过程
同样，数学应教一些重要的代数公式的推导过程，还应指出代数公式和命题的证明推理的证据，而且，还应在“局部证明”的意义上多练习证明。所谓“局部证明”就是说给出一些需要在逻辑基础上证明的命题，以及一些可以想当然的更为简单的条件。自始至终都应培养把具体问题化为数学而在经过数学加工以后又转化回去的数学推理能力。数学加工和转化步骤的复杂程度应随着学生年龄的增长而增加。
    三、在几何学的教学中重视培养数学推理能力
如果在小学和初中就能很好地处理数学推理的问题，那么到高中时，学生就能看懂相当有条理的证明了。形式逻辑的问题，如演绎推理，反面和正面论证，换质位法，逆反函数等，都应受到重视。同样也应讨论语言表述的必要性：要详细说明假设和结论，要弄清楚“充分条件”和“充要条件”的区别，要明确解释而不是只凭“直觉”。还要明确解释推理从何处开始以及其起点由公理限定的这个原则。表述显而易见的事实并在此基础上得出不明显的事实，其价值’应在玩具例子和具有数学意义的例子中得到体现。(这与下面提到的“半局部”证明概念非常一致)。非欧几里德几何学的历史可以说明严密是如何能使直觉变得敏锐和得到改造。(如果欧几里德没有提出几何学的基本公理原则，那么就不可能发生导致非欧几里德几何学的两千年的大辩论)。对当今学生来说，学习推理证明最好是在几何学中。知道了欧几里德几何学的全面公理化和其它几何学的重要性当中的困难及麻烦后，就能知道是否应在欧几里德平面几何里推荐运用全面的公理化处理。当然，在数学教育中培养推理能力的机会还是很多的，并且对那些具有数学天赋的学生也有巨大的直觉吸引力。因此，推导在几何课上应起很大的作用，或许是在那种“半局部”证明中，用一些设想来证明有相当数量的定理集；但在这个集合里，有些更为基础和“直觉上就觉得显而易见”的命题是无须证明就可以接受的，其它相似的命题只是用来阐述这些问题，而那些更不明显的结果则是作为练习来证明求得。但并不是所有的证明都非得是综合性的，从椭圆和双曲线的定义中推导出其等式就是几何学与代数的完美结合。这说明了几何学的教学是培养数学推理能力的一个契机。